Circunferencia.

Circunferencia: se le llama circunferencia al conjunto de todos los puntos (B), que equidistan a otro punto fijo al cual llamamos centro (A).

Pueden observar cómo se forma la circunferencia en la siguiente construcción con geogebra: para iniciar damos clic en el icono que se encuentra en la parte inferior izquierda y para reiniciar, en el icono que se encuentra en la parte superior derecha. En la parte de debajo de la aplicación se deja el link: Circunferencia

https://dl.dropbox.com/u/98299729/geogebra/Circunferencia.html 

En la circunferencia podemos encontrar varios puntos, rectas y segmentos:

Centro: es el punto interior (A) que equidista de todos los puntos de la circunferencia.

Radio: es el segmento que une al centro (A) con un punto cualquiera de la circunferencia (H).

Diámetro: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia (I,J) con la condición de que pase por el centro (A).

Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia (D,E ).

Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (G,F).

Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un sólo punto, al cual llamaremos punto de tangencia, que está dado por el punto de contacto de la circunferencia con la tangente (C).

Arco: es el segmento curvilíneo de dos puntos en la circunferencia dado por la cuerda (D,E).

Exterior: es la recta (L,K) que no tiene ningún punto en común con la circunferencia y la distancia con respecto al centro (A) es mayor a su radio (H).

En la siguiente construcción con geogebra podemos observar lo estudiado, en la parte de abajo dejo el link:

Rectas de la circunferencia.
https://dl.dropbox.com/u/98299729/geogebra/rectas_circunferencia.html

Además de puntos, rectas y segmentos; podemos encontrar en la circunferencia ángulos:

Ángulo central: tiene su vértice en el centro de la circunferencia (A) y sus dos segmentos son el radio de la misma en cualquier punto de la circunferencia (B,C).

Ángulo inscrito: su vértice esta en un punto de la circunferencia (I) y sus segmentos están dados por los puntos de la cuerda (G,H).

Ángulo semi-inscrito: su vértice es un punto tangencial de la circunferencia (J), uno de sus segmentos esta dado por un punto de la cuerda (K) y el otro segmento esta dado por la recta tangente a la circunferencia (M).

Ángulo interior: su vértice se encuentra al interior de la circunferencia (D) y sus segmentos son secantes a la circunferencia (E,F).

Ángulo exterior: este se divide en tres:

1.- Su vértice es un punto exterior a la circunferencia (R) y sus segmentos están dados por los puntos de la secante de la circunferencia (Q,P).

2.- Su vértice es un punto exterior a la circunferencia (U) y sus segmentos está dado por un punto de la secante (T) y otro en la tangente de la circunferencia (S).

3.- Su vértice es un punto exterior a la circunferencia (L) y sus segmentos están dados por los puntos de la tangente a la circunferencia (O,N).

Igualmente lo podemos observar en la siguiente construcción con geogebra, los distintos ángulos y en la parte de abajo dejo el link:

Ángulos de la circunferencia
https://dl.dropbox.com/u/98299729/geogebra/%C3%A1ngulos_circunferencia.html

Bitácora 7.

Bitácora 7.

Este sábado 22 de Septiembre, observamos como el circulo puede tener varias rectas utilizando de manera dinámica geogebra, como por ejemplo: el radio (segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia), cuerda (segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia), diámetro (segmento que une tres puntos de la circunferencia, uno de ellos pasa por el centro de la misma), arco (segmento que marca parte de la circunferencia dado dos puntos de la misma, que puede ser los puntos de la cuerda), secante (línea que interseca a dos puntos de la circunferencia), tangente (línea perpendicular al radio de la circunferencia que pasa por un punto de la misma).

Igualmente observamos los diferentes ángulos que se observan en la circunferencia, como: el ángulo central (que abre la circunferencia con respecto al centro), interior (abre a la circunferencia en cualquier punto dentro de la misma), semi-inscrito (dado un punto cualquiera fuera de la circunferencia y sus lados respecto al radio y tangente), exterior (un punto cualquiera fuera de la circunferencia respecto a las tangentes).

Siguiendo con geogebra desarrollamos la línea dorada; a partir de un cuadrado, siguiendo con una circunferencia a partir del punto medio de una de las bases del triangulo, con radio a uno de los vértices del cuadrado, posteriormente prolongamos una de las bases para después obtener su perpendicular, obteniendo los puntos de un polígono rectangular para ser trazado. De ahí obtenemos el rectángulo áureo, base para empezar a formar cuadrados dentro del rectángulo e ir formando la unión de los vértices para dar forma a la línea o espiral áureo.

Esto mismo lo podemos observar en la siguiente aplicación utilizando geogebra.Abajo de la aplicación se encuentra el link, pos si las dudas.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.5 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

https://dl.dropbox.com/u/98299729/geogebra/linea%20dorada.ggb

Ahora vamos con la aplicación para formar el compas áureo, mediante el mismo procedimiento en geogebra, pero ahora en una hoja realizamos el rectángulo áureo para ubicar los puntos y marcarlos en una tabla.  Para después cortar y armar nuestro compas. Con este instrumento podemos verificar que objetos se encuentra hechos con esta relación. Aquí algunos ejemplos:

Con este conocimiento nos podemos dar cuenta que muchos objetos que observamos en nuestra vida cotidiana se encuentra presente esta razón dorada, que para muchos es desconocida su aplicación, origen y belleza. Utilizando no solamente un software, también lo podemos construir por medio de un compas y comprobar que objetos tienen esta relación. ¡Interesante verdad!

Bitácora 6.

En esta semana fue muy difícil para mí ya que la realización de las áreas se me complicó, tal vez por intentar buscar la forma de explicar de forma en que los alumnos deduzcan por si solos la forma en que se estructuran las fórmulas para hacer más fácil la memorización de las mismas. Curiosamente se les hace más fácil aprendérselas. Posteriormente el desarrollo del teorema de Euler fue un poco más sencillo, con el uso de la tecnología para el desarrollo de la misma pareciera que al desarrollarla en papel sería más fácil, siempre y cuándo le busquemos lo interesante. Aprovechando geogebra se comprobó de manera más visual uno de los teoremas de los triángulos; que teniendo una misma base y altura obtenemos una misma área.  Pero si los alumnos se preguntan, ¿cómo para qué sirve? ó ¿a quién se le ocurrió descubrir tantas cosas? Recurrimos al video animado de Donald en el país de las matemática, de tal forma que redescubran la importancia que tiene el estudio de las misma y el reconocimiento de grandes matemáticos que dedicaron su vida al descubrimiento de cosas increíbles, con ello buscar y experimentar con los alumnos en la gran la búsqueda interminable de nuevas formas de redescubrir las matemáticas en nuestra vida diaria. Por ahora queda seguir descubriendo una nueva forma de aplicar y que nosotros apliquemos matemáticas. El desarrollo del mapa conceptual del video, nos puede dar un acercamiento del origen de las matemáticas y su aplicación en este mundo maravilloso en el que vivimos, que muchas veces damos por hecho tantas cosas que ni siquiera nos preguntamos el porqué de las mismas. 

Bitácora 5.

En esta sesión aprendimos como obtener el área de un polígono regular, tal vez durante nuestra formación académica nos hicieron memorizar las formulas pero nunca de donde salieron. De ahí la importancia de observar, descubrir y aprender como obtener el área de un polígono regular; empezamos con el cuadrado, concepto fácil cuando nos dicen que debe tener sus cuatro lados iguales, tomamos uno de sus lados y lo elevamos al cuadrado. Pero si juntamos dos cuadrados ya no es un cuadrado, mágicamente se convierte en un rectángulo. Pregunta como se obtiene el área de un rectángulo, una seria dividir el rectángulo en partes iguales de tal forma que se obtengan cuadrados, de ahí obtenemos el lado de uno de los cuadrados, lo elevamos a la potencia dos, el resultado lo multiplicamos por el numero de cuadrados que se obtuvieron y listo obtenemos el área del rectángulo. Pero seria complicado realizar demasiados trazos, la solución esta que si al cuadrado multiplicamos lado por lado, por ser un cuadrilátero, podemos decir que el rectángulo es un cuadrilátero irregular, de tal forma que multiplicamos lado por lado, pero sus cuatro lados no son iguales. Observamos que dos de sus lados son iguales y paralelas entre si al igual que sus perpendiculares, tenemos dos datos que al compararlo con la fachada de una casa podemos decir que tenemos el ancho y la altura; tal que multipliquemos el lado mayor por el lado menor y de ahí obtenemos el área del rectángulo. Seguimos con el triángulo rectángulo, como obtenemos su área, una forma de descubrirlo es dividiendo el rectángulo en dos de tal forma que obtengamos dos triángulos, diríamos que al multiplicar su lado mayor por el lado menor obtenemos el área del rectángulo , pero necesitamos el área del triangulo, bueno si dividimos el rectángulo en dos y obtuvimos dos triángulos haremos lo mismo con el área del rectángulo lo dividimos en dos y obtenemos el área de un solo triangulo, concluyendo que para obtener el área de un triangulo es el hecho de multiplicar la base por la altura todo esto dividiendo entre dos. Como dato curioso que después se convirtió en teorema es que los triángulos con su misma base y alturas, obtenemos una misma área.

osteriormente realizamos el calidociclo: que es el resultado de trazar en un plano triángulos isósceles, formando un anillo geométrico con la particularidad de que este gire sobre su propio eje. Aquí un pequeño vídeo.

Sólidos Platónicos.

Cubo

Sólidos platónicos.

El estudio de los sólidos se remonta a la antigua Grecia, ellos fueron los primeros que deciden estudiar estos cuerpos geométricos. Una de las características comunes en estos cuerpos es que tienen un solo tipo de polígono como cara. Por definición un sólido platónico se puede decir que es un poliedro regular. Recordando que los polígonos regulares son aquellos en los que sus ángulos y lados son iguales. Los sólidos platónicos están llenos de simetrías que existen respecto a un eje y respecto a un plano. Por ello se tiene que al trazar un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tiene el sólido inicial y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro y viceversa; el de un cubo es un octaedro; el poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro. Con esto tenemos el Teorema de poliedros de Euler, donde dice que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir: c + v = a + 2

Tetraedro.

Bitácora 4.

El trabajo de esta semana fue muy interesante ya que la realización de las construcciones no fue nada fácil, ya que por milímetros me veía en la necesidad de realizarlo nuevamente y el estrés de no encontrar la solución sobre el área faltante de la disección del cuadrado. Para mí el área no se pierde, se fracciona y el resultado está en la altura, que siendo lo más exacto posible es de 8.047 por la base que es 21. Hay una diferencia por decimales. En cuanto al triangulo de Pitágoras, una forma muy interesante de comprobar su teoría, ya sea de forma matemática o construyéndolo.

El triángulo de Dudney, puede tener varias aplicaciones como: el de un rompecabezas, de una pregunta capciosa (a partir de que figura se realizo los cortes, hasta la comprobación de teorías.

Como la que se nos encomendó, mediante la realización de mapas conceptuales para la clasificación de triángulos y cuadriláteros.

Para esta actividad se me complico el programa que nos recomendó para la realización de dicho mapa mental, por ello lo realice en Excel. Por lo demás parece sencilla su clasificación, en internet lo complican mucho o agregan demasiados datos confusos o mejor dicho para mí son confusos, por eso recomiendo la biblioteca. Aunque debo de aprender a interpretar datos yo creo que eso es lo que me está fallando.

Por lo que respecta a la película de Ágora, es la primera vez que veo una película a través del internet, siempre las rentaba o voy al cine; pero buscar un lugar donde cuenten con el internet digamos un poco más rápido a lo normal es el municipio donde laboro fue una odisea, ah también que se pudiera descargar los plugins no fue nada fácil. Ahora ya sé que debo de juntar para mínimo tres horas de renta, no es queja aclaro. Simples desventajas de estar fuera de casa.

Respecto a las fotografías geométricas espero y les hayan gustado las fotos que tome de mi comunidad prometo subir más y también del municipio. Reitero la invitación a visitar mi comunidad, que tiene de interesante, pues solo admirar la naturaleza de la sierra norte del estado de puebla. Suplico realicen sus reservaciones con anticipado. Saludos.